Voyons tout d’abord la formule de la multiplication de matrices sous forme générale (on a vu ci-dessus ce que cela donnait avec la matrice identité) : Comme tu le vois, au niveau des bases c’est comme précédemment avec le pseudo-principe de Chasles. Exercice 9. 1.Montrer qu’une matrice qui a deux colonnes égales n’est pas inversible. où In désigne la matrice unité d'ordre n. La multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire...) est la multiplication ordinaire des matrices. 2. —. Dans ce chapitre, E , F et G désignent des espaces vectoriels de dimensions finies sur un corps commutatif K , … Mais si on veut la matrice de passage de B’ dans B… on fait tout simplement P -1 ! Matrices, applications linéaires. Montrer que transposée-de-A x A est inversible (Ouvre un modal) À propos de ce chapitre. En algèbre linéaire, le rang d'une famille de vecteurs est la dimension du...), (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...), (En mathématiques, une application linéaire (aussi appelée opérateur linéaire ou transformation...), (Un polynôme, en mathématiques, est la combinaison linéaire des produits de...), (Le polynôme minimal est un outil qui permet d'utiliser des résultats de la théorie des...), (En mathématiques et plus particulièrement en algèbre linéaire, une matrice...), (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les...), (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...), (En mathématiques, le groupe général linéaire de degré n d’un corps E est le groupe des...), (En mathématiques, un ensemble A est un sous-ensemble ou une partie d’un ensemble B, ou...), (La mesure de Lebesgue doit son nom au mathématicien français Henri Léon Lebesgue. Or cette matrice est clairement inversible car son déterminant est égal à 1. Intuitivement, cela signifie que si l'on choisit au hasard (Dans le langage ordinaire, le mot hasard est utilisé pour exprimer un manque efficient, sinon...) une matrice carrée d'ordre n à coefficients réels, la probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un...) pour qu'elle soit non inversible est égale à zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr,...). ... (Id - p o q) est inversible, sachant que : - p et q sont deux projecteurs de L(R n). Chaque colonne de la matrice représente l’image de chaque vecteur de la base de départ dans la base d’arrivée, Avec un exemple ce sera beaucoup plus compréhensible : Coordonnées de l’image d’un vecteur par une ap-plication linéaire. Inscription gratuite . Ce cours est simplifié au maximum pour que tu puisses comprendre et réaliser les exercices. ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2017-2018 2 On dit que u ∈L(K2,K3) est l’application linéaire canoniquement associée à la matrice A. A est nilpotente s’il existe un n tel que An =(0) (la matrice nulle). Les colonnes d’une matrice inversible sont-elles toujours linéairement indépendantes? En particulier, en algèbre linéaire, si une application est bijective, alors elle est-inversible. Une matrice carrée qui n'est pas inversible est dite non inversible ou singulière. Soit f une application linéaire de E de F.Alors f est injective si, et seulement si, Ker(f) ˘{0}. Soit B = (e1, e2, e3) une base de E et B’ = (e’1, e’2) une base de F, telles que : ECE2–Lycée La Folie Saint James Année 2014–2015 Proposition 3. Ainsi, la matrice de f dans la base B est : Une matrice de passage, souvent notée P (comme Passage), est une matrice qui détermine comment passer d’une base d’un espace à une autre base du même espace. f(X) = 2 x 1 – X = 2 – X L'application qui associe à … . En mathématiques et plus particulièrement en algèbre linéaire, une matrice carrée A d'ordre n est dite inversible ou régulière ou encore non singulière s'il existe une matrice B d'ordre n, appelée matrice inverse de A et notée : . (Q 1) Calculer les matrices de f,g,f gdans les bases canoniques de R2 et R3. matrice, application linéaire, ... Cours pour Master et Doctorant. Pour bien comprendre, il faut que tu aies lu le chapitre sur les espaces vectoriels et les applications linéaires, sinon tu risques de ne pas comprendre le vocabulaire employé. Aucune reproduction, même partielle, ne peut être faite de ce site et de l'ensemble de son contenu : textes, documents et images sans l'autorisation expresse de l'auteur, Cours et Exercices classes prépa – post-bac, Cercle trigonométrique et formules de trigo. Elle est d'une...), (Dans le langage ordinaire, le mot hasard est utilisé pour exprimer un manque efficient, sinon...), (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un...), (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr,...), (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent...), (En biologie, la décomposition est le processus par lequel des corps organisés, qu'ils...), (En algèbre linéaire, la décomposition LU est une méthode de décomposition d'une matrice en une...), (En mathématiques, l'élimination de Gauss-Jordan, aussi appelée pivot de Gauss, nommée en...), (En algèbre linéaire, la comatrice d'une matrice carrée A est une matrice introduite par une...), (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce...), (On appelle diagonale d'un polygone tout segment reliant deux sommets non consécutifs (non...), (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une...), (Le produit matriciel désigne le produit de matrices, initialement appelé la « composition...), (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la...). On va maintenant voir que les matrices s'introduisent aussi naturellement dans le cadre de l'étude des applications linéaires, dès lors que l'on a choisi une base dans chacun des espaces vectoriels concernés. . —. Comme f Id = f et Id f = f, on aura par la suite ce genre de formule : Après ce petit prélude, rentrons désormais dans le vif du sujet ! (Q 2) Exprimer alors f g((x;y)) pour (x;y) ∈ R2 à l’aide de la matrice de f g Mat(f) x Mat(g) → Mat(f g) et non Mat(g f). La matrice inverse d'une matrice inversible (En mathématiques et plus particulièrement en algèbre linéaire, une matrice...) A est elle-même inversible, et, Le produit de deux matrices inversibles A et B (de même ordre) est une matrice inversible et son inverse est donné par la relation suivante (on remarquera que l'ordre des matrices est inversé). soit f une application linéaire de E dans F (E et F sont des espaces vectoriels). — Dans un tel cas, on dit que les matrice A et B sont équivalentes car elles représentent la même application linéaire mais dans des bases différentes. A = PBP-1 Matrice d’une composée d’applications linéaires. B2 5. Cas particulier où E =F: Une application linéaire de E dans E est aussi appelée un endomorphisme de E. L’ensemble Etant donnés deux espaces vectoriels et sur un même corps une application est dite linéairelorsqu’elle “préserve la structure vectorielle”, au sens suivant : 1. l’image de la somme de deux vecteurs est … (AB)−1 = B−1A−1 Le produit d'un scalaire(Un vrai scalaire est … Méthodes d'inversion Avant de décrire les méthodes usuelles d'inversion, notons qu'en pratique, il n'est pas nécessaire de calculer l'inverse d'une matrice pour résoudre un système d'équations linéaires. DERNIÈRE IMPRESSION LE 18 août 2017 à 13:56 Représentation matricielle des applications linéaires Table des matières 1 Matrice d’une application linéaire 2 1.1 Matrice dans les bases canoniquement associées à A. . On pose : Ici B1 et B’1 sont des bases de E, B2 et B’2 sont des bases de F. Utiliser une matrice pour définir une application linéaire. Etant données deux bases de et respectivement, on a vu que l'on peut associer à sa matrice par rapport à ces deux bases. 1) Soient Eet F deux espaces vectoriels alors l' application nulle , qui à tout x2Efait correspondre 0 F le zéro de F, est une application linéaire (véri cation laissée au lecteur). 1 Applications linéaires, Morphismes, Endomorphismes 1.1 Les applications linéaires et leur espace Soient EE et F deux R-espaces vectoriels. B Ce critère ne concerne que les applications linéaires. Introduction Ce n’est pas n’importe quelle matrice de passage, et il faut bien appliquer le pseudo-principe de Chasles vu précédemment pour savoir si on multiplie par P ou P-1, à gauche ou à droite etc…. —. R´eciproque d’une application lin´eaire On commence par rappeler le concept d’application inversible. 3. Tu trouveras sur cette page tous les exercices sur les matrices. Avant de décrire les méthodes usuelles d'inversion, notons qu'en pratique, il n'est pas nécessaire de calculer l'inverse d'une matrice pour résoudre un système d'équations linéaires. e’3 = -3e1 + 6e2 + 5e3. Exemples. Contrairement aux matrices des applications linéaires vues plus hauts, l’ordre dans la notation est inversé : P est la matrice de passage de B dans B’ MAIS elle est notée MatB’,B(Id)… —. Enfin, pour terminer la partie sur les matrices de passage, mentionnons le fait que l’on puisse, grâce aux matrices de passage, exprimer les coordonnées d’un vecteur dans une autre base. On peut l’indentifier à l’application linéaire ˜u: M2,1(K) →M3,1(K) définie par ˜u(X) = AX. Cette matrice A définit entièrement l’application f. f(e2) = -8e’1 + 5e’2 Théorème (Rang d’une application linéaire, rang d’une matrice associée) Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimension finie, Bune base de E, Cune base de F et u ∈L(E,F). — Comprendre comme associer un ensemble de vecteurs à un autre. Les propositions suivantes sont équivalentes (on note X une matrice colonne à n éléments dans ) : Plus généralement, une matrice carrée à coefficients dans un anneau commutatif unifère est inversible si et seulement si son déterminant est inversible dans cet anneau. Représentation d’une application linéaire. - Im p et Im q sont sommes directes de R n - Ker p et Ker q sont sommes directs de R n Search For Allez. Exemple V.2.6. Applications linéaires et matrices. Remarque : si l’espace vectoriel de départ est le même que l’espace d’arrivée (et donc même base de départ et d’arrivée), on pourra écrire MatB(f) à la place de MatB, B(f). Wikipédia possède un article à propos de « Matrice d'une application linéaire ». Wikipédia possède un article à propos de « Matrice d'une application linéaire ». Si les matrices de et (relatives aux mêmes bases au départ et à l'arrivée) sont et , alors la matrice de est .La composée de deux applications linéaires est encore une application linéaire. (mais bien sûr mathématiquement ce n’est pas correct de dire ça, c’est juste pour comprendre^^). En revanche, on peut très bien comprendre le principe avec un schéma : Et là en retrouve un vrai principe de Chasles ! Représentation d’une application linéaire . Je veux exprimer ce vecteur dans une autre base B’, on note ce nouveau vecteur X’. Vérifions que c’est bien le cas dans l’exemple précédent. En effet : On retrouve une « sorte » de principe de Chasles mais : (B2;B1)(B3;B2) → (B3;B1) (attention cette notation est à faire uniquement au brouillon, elle n’est pas valable mathématiquement). Attention ! Plus généralement, une matrice carrée à coefficients dans un anneau commutatif unifère est inversible si et seulement si son déterminant est inversible dans cet anneau. Montrer que transposée-de-A x A est inversible (Ouvre un modal) À propos de ce chapitre. L’ensemble des applications linéaires de E dans F est noté L(E,F). Remarque : la plupart du temps, on aura B1 = B2 et B’1 = B’2, ce qui donnera P = Q ! Tout d’abord, de par sa définition, P correspond à la matrice de l’application identité (Id) de la base B’ dans la base B. Figure 1: T est inversible R n’est pas inversible car l’´equation R(x) = y MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 2.1 Définition Une matrice n × m est un tableau rectangulaire de nombres (réels en général) à n lignes et m colonnes ; n et m sont les dimensions de la matrice. Ce pseudo principe de Chasles s’effectue avec la notation car, comme vu précédemment, les bases ne sont pas dans le même ordre selon que l’on parle de la notation ou du principe du passage d’une base à une autre. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); Copyright © Méthode Maths 2011-2020, tous droits réservés. kaiser re : application linéaire, matrices et inverses 23-02-07 à 22:04 Citation : ok et je fé sa pour toutes les valeures de a où la matrice est non inversible —. Partagez-le sur les réseaux sociaux avec vos amis ! B = P-1AP 2) L'application x7!2xest une application linéaire de R dans R. En revanche, l'appli-cation carrée, x7!x2, n'en est pas une. Des deux premières de ces propriétés, il résulte que l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) des matrices carrées inversibles d'ordre n constitue un groupe multiplicatif (dont l'élément neutre est la matrice unité d'ordre n); on l'appelle groupe général linéaire (En mathématiques, le groupe général linéaire de degré n d’un corps E est le groupe des...) et on le note habituellement , où est le corps des scalaires. e1 = 1e1 + 0e2 + 0e3 Sur ce même principe, on peut combiner matrice de passage et matrice d’application linéaire. L'équation des cofacteurs ci-dessus permet de calculer l'inverse des matrices de dimensions 2 x 2 : si . L'inverse d'une matrice A s'écrit sous une forme très simple à l'aide de la matrice complémentaire tcomA. Cas particulier, si on fait P -1 x P, on obtient la matrice de passage de B’ dans B’… qui est l’identité ! Dans ce chapitre, E , F et G désignent des espaces vectoriels de dimensions finies sur un corps commutatif K , munis chacun d'une base : Vrai ou faux ? . Or cette matrice est clairement inversible car son déterminant est égal à 1. Soient , deux applications linéaires de dans et , deux réels. La matrice A, relativement aux bases B et B’, notée MatB, B’(f) est : Comme tu le vois, chaque colonne correspond aux coordonnées de f(e1), f(e2) et f(e3), c’est-à-dire les images des vecteurs de la base de l’espace de départ. f(X2) = 2 x 2X – X2 = 4X – X2 Contrairement aux matrices des applications linéaires vues plus hauts, l’ordre dans la notation est inversé : P est la matrice de passage de B dans B’ MAIS elle est notée Mat B’,B (Id)… Par ailleurs, comme B et B’ sont des bases d’un même espace, elles ont même dimension, donc P est nécessairement une matrice carrée de taille n, avec n la dimension de l’espace considéré. On prend la base canonique de E : (1, X, X2, X3), et on définit l’application f par : Pour trouver la matrice de f dans la base B, il faut calculer l’image de chaque vecteur de la base : f(1), f(X), f(X2) et f(X3) : e3 = 01 + 0e2 + 1e3 2. publicité ... Calculer le produit M N , puis donner une condition nécessaire et suffisante pour que M soit inversible. On peut l’indentifier à l’application linéaire ˜u: M2,1(K) →M3,1(K) définie par ˜u(X) = AX. En effet : Elles sont reliés par l’égalité par l’égalité B = Q-1AP ⇔ A = QBP-1, avec P et Q matrices de passage. e2 = 0e1 + 1e2 + 0e3 Fonction pour laquelle les variables dépendante et indépendante qui définissent la relation entre le domaine et l’image peuvent être échangées de manière à ce que la nouvelle relation obtenue soit aussi une fonction. En effet, une application est entièrement définie si on connaît l’image de tous les vecteurs de l’espace de départ. Exercice 24 Répondre aux questions suivantes en raisonnant sur l’application linéaire associée à une matrice.